Rumus Penting Persamaan Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

A. Bentuk Umum

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang dinyatakan oleh bentuk: ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

B. Akar Persamaan

Menyelesaikan suatu persamaan kuadrat adalah mencari harga-harga real yang memenuhi bentuk persamaan. Harga x real yang memenuhi nantinya disebut sebagai "akar" persamaan.

a. Metode Faktorisasi

Diubah menjadi faktor-faktor linear, Diubah menjadi faktor-faktor linear, ¹/a (ax + p)(ax + q) = 0 sehingga diperoleh akar-akarnya x₁ = - p/a atau x₂ = -q/a

b. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempuma

Diubah bentuk menjadi (x + p)² = q dengan  $$p=\frac{b}{2a}\ dan\ q\ =\ {\frac{\left(b\right)}{2a}}^2-\frac{c}{a}$$ sehingga diperoleh akar-akarnya $$x_{1,\ 2}=-p\pm\sqrt q$$

BACA JUGA

⇔50 Latihan dan Kunci Jawaban Persamaan Kuadrat⇔

c. Metode Rumus Kuadrat

Dirumuskan $$x_{1,\ 2}=-\frac{-b\ \pm\sqrt{b^2}-4ac}{2a}$$ 

C. Sifat-Sifat Akar Kuadrat

Misalkan x₁ dan x₂ akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 dengan D > 0, maka $$x_1=-\frac{-b\ -\sqrt D}{2a}\ \ dan\ \ x_2=\frac{-b\sqrt D}{2a}$$ Sebagai akibat rumus di atas, diperoleh sifat:
a. Persamaan jumlah akar $$x_1+\ x_2\ =\ \frac{b}{a}$$
b. Persamaan Hasil kali akar $$x_1✳\ x_2\ =\ \frac{c}{a}$$
c. Persamaan Selisih akar $$\left|x_1-\ x_2\right|\ =\ \frac{\sqrt D}{\left|a\right|}$$ 

Bentuk Pengembangan Sifat-sifat Akar

a. Jumlah kuadrat $$x_1^2{+x}_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1\bullet x_2\right)$$ b. Jumlah pangkat tiga $$x_1^2{+x}_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1\bullet x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$$ c. Selisih kuadrat $$x_1^2{-x}_2^2=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$$ d. Kuadrat selisih $$\left(x_1+x_2\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2-4\left(x_1\bullet x_2\right)$$ e. Jumlah kebalikan $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\bullet x_2}$$

D. Jenis Akar

Perhatikan persamaan berikut ini $${\rm ax}^2+bx+c=0\ \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Nilai b²- 4ac digunakan sebagai diskriminan (pembeda) = D. Jenis akar persamaan ditentukan oleh besarnya D.
Kemungkinan yang dapat terjadi:
a. Jika D>0,D non-negatif, maka persamaan kuadrat tersebut akar-akarnya real.
1) D>0,persamaan kuadrat mempunyai 2 akar real yang berbeda.
2) D =0,persamaankuadratmempunyai 2 akar real yang sama.
b. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real.
c. Jika D = k²; maka mempunyai 2 akar rasional.
Dari uraian di atas, dapat dikembangkan bentuk perluasan untuk akar-akar real (D ≥ 0).
a. Kedua akar berkebalikan (x₁ = ¹/x₂)
1. D ≥ 0
2. x₁∗x₂ = 1
b. Kedua akar berlawanan (x₁ = -x₂)
1. D > 0
2. x₁ + x₂ = 0
3. x₁ ∗ x₂ < 1
c. Kedua akar positif ( x₁ > 0 ∧ x₂ > 0)
1. D ≥ 0
2. x₁ + x₂ > 0
3. x₁ ∗ x₂ > 0
d. Kedua akar negatif ( x₁ < 0 ∧ x₂ < 0)
1. D ≥ 0
2. x₁ + x₂ < 0
3. x₁ ∗ x₂ < 0

E. Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dapat dibentuk jika kedua akarnya atau informasi tentang kedua akarnya diketahui. Jika suatu persamaan kuadratmempunyai akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaannya adalah: $$x^2-\left(x_1+x_2\right)x+\left(x_1\ast x_2\right)=0$$

F. Beberapa Hal Khusus dalam Membentuk Persamaan Kuadrat

a. Dua persamaan kuadrat yang memiliki dua akar persekutuan

Jika persamaan-persamaan a₁x² + b₁x² + b₁x + c₁: = 0 dan a₂x² + b₂x + c₂ = 0 memiliki dua akar persekutuan, maka kedua akar persamaan tersebut harus sama atau identik, dengan kata lain: a₁= a₂; b₁= b₂; C₁= C₂

b. Dua persamaan kuadrat yang memiliki satu akar persekutuan

Jika persamaan-persamaan a₁x² + b₁x + c₁ = 0 dan a₂x² + b₂x + c₂ = 0 memiliki satu akar persekutuan, maka akar yang dimaksud (𝞪) adalah: $$\alpha=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_2b_1-}\ \ dan\ \left(\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_2b_1-a_1b_2}\right)^2=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}\ $$ Perbandingan akar-akar persamaan kuadrat Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki hubungan x₁ = kx₂ <=> kb² = ac(k + l)²